Интеграл cos(x/4)^(8) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     8/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \4/   
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{8}{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{8}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{16}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{16}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. пусть $u = 2 x$.

                        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. Интеграл от косинуса есть синус:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{4}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

               Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ и подставим $du$:

               $\int \left(2 - 2 u^{2}\right)\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int 2\, du = 2 u$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

                  Результат есть: $- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$

                  1. пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

                     Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ и подставим $2 du$:

                     $\int 4 u^{2}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{3}}{3}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$

               1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

                  Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

                  $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

               Результат есть: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

            Метод #3

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$

                  1. пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

                     Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ и подставим $2 du$:

                     $\int 4 u^{2}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

                        1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{3}}{3}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$

               1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

                  Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

                  $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

               Результат есть: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{8}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{4}$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

      Результат есть: $\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16} + \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{16}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{16}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. пусть $u = 2 x$.

                        Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. Интеграл от косинуса есть синус:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                        $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{128} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{4}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         2. пусть $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

            Тогда пусть $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ и подставим $du$:

            $\int \left(2 - 2 u^{2}\right)\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 2\, du = 2 u$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

               Результат есть: $- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{8}$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{4}$

         1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

            Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

            $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

      Результат есть: $\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}+ \mathrm{constant}$

Ответ

         7                      5                                              3              
 35   cos (1/4)*sin(1/4)   7*cos (1/4)*sin(1/4)   35*cos(1/4)*sin(1/4)   35*cos (1/4)*sin(1/4)
--- + ------------------ + -------------------- + -------------------- + ---------------------
128           2                     12                     32                      48         

$$\frac{\sin{\left(\frac{1}{4} \right)} \cos^{7}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{2} + \frac{7 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} \cos^{5}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{12} + \frac{35 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} \cos^{3}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{48} + \frac{35 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} \cos{\left(\frac{1}{4} \right)}}{32} + \frac{35}{128}$$

=

=

         7                      5                                              3              
 35   cos (1/4)*sin(1/4)   7*cos (1/4)*sin(1/4)   35*cos(1/4)*sin(1/4)   35*cos (1/4)*sin(1/4)
--- + ------------------ + -------------------- + -------------------- + ---------------------
128           2                     12                     32                      48         

$$\frac{\sin{\left(\frac{1}{4} \right)} \cos^{7}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{2} + \frac{7 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} \cos^{5}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{12} + \frac{35 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} \cos^{3}{\left(\frac{1}{4} \right)}}{48} + \frac{35 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} \cos{\left(\frac{1}{4} \right)}}{32} + \frac{35}{128}$$

Численный ответ

0.922120858387445

Ответ (Неопределённый)

  /                    3/x\                                      
 |                  sin |-|                                      
 |    8/x\              \2/   sin(2*x)   7*sin(x)   35*x      /x\
 | cos |-| dx = C - ------- + -------- + -------- + ---- + sin|-|
 |     \4/             6        256         32      128       \2/
 |                                                               
/                                                                

$$\int \cos^{8}{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = C + \frac{35 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{6} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{256}$$

График