Интеграл cos(x/2)^4 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     4/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

   3. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{4}$

   4. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = 2 x$.

                  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{16} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (2 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{4}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

               1. пусть $u = 2 x$.

                  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{1}{16} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (2 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{8} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{8} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{16} \sin{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                          
  /                                                          
 |                      3                                    
 |     4/x\      3   cos (1/2)*sin(1/2)   3*cos(1/2)*sin(1/2)
 |  cos |-| dx = - + ------------------ + -------------------
 |      \2/      8           2                     4         
 |                                                           
/                                                            
0                                                            

$${{\sin 2+8\,\sin 1+6}\over{16}}$$

Численный ответ

0.852566581580553