Интеграл cos(x/2)^2 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     2/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                     
  /                                     
 |                                      
 |     2/x\                             
 |  cos |-| dx = 1/2 + cos(1/2)*sin(1/2)
 |      \2/                             
 |                                      
/                                       
0                                       

$${{\sin 1+1}\over{2}}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                            
 |    2/x\          x   sin(x)
 | cos |-| dx = C + - + ------
 |     \2/          2     2   
 |                            
/                             

$${{\sin x}\over{2}}+{{x}\over{2}}$$