Интеграл cos(x)/e^x (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |  cos(x)   
     |  ------ dx
     |     x     
     |    e      
     |           
    /            
    0            
    01cos(x)exdx\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos{\left(x \right)}}{e^{x}}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      1excos(x)=excos(x)\frac{1}{e^{x}} \cos{\left (x \right )} = e^{- x} \cos{\left (x \right )}

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=xu = - x.

        Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим du- du:

        eucos(u)du\int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          eucos(u)du=eucos(u)du\int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du = - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(u)=cos(u)u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )} и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u} dx.

            Затем du(u)=sin(u)\operatorname{du}{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )} dx.

            Чтобы найти v(u)v{\left (u \right )}:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            eusin(u)du=eusin(u)du\int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = - \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du

            1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

              1. Для подинтегрального выражения eusin(u)e^{u} \sin{\left (u \right )}:

                пусть u(u)=sin(u)u{\left (u \right )} = \sin{\left (u \right )} и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}.

                Затем eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)du\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - \int e^{u} \cos{\left (u \right )}\, du.

              2. Для подинтегрального выражения eucos(u)e^{u} \cos{\left (u \right )}:

                пусть u(u)=cos(u)u{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )} и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}.

                Затем eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)+eusin(u)du\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )} + \int - e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du.

              3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

                2eusin(u)du=eusin(u)eucos(u)2 \int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = e^{u} \sin{\left (u \right )} - e^{u} \cos{\left (u \right )}

                Поэтому,

                eusin(u)du=eu2sin(u)eu2cos(u)\int e^{u} \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}

            Таким образом, результат будет: eu2sin(u)+eu2cos(u)- \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} + \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}

          Таким образом, результат будет: eu2sin(u)eu2cos(u)- \frac{e^{u}}{2} \sin{\left (u \right )} - \frac{e^{u}}{2} \cos{\left (u \right )}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        ex2sin(x)ex2cos(x)\frac{e^{- x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{- x}}{2} \cos{\left (x \right )}

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

        1. Для подинтегрального выражения excos(x)e^{- x} \cos{\left (x \right )}:

          пусть u(x)=cos(x)u{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} и пусть dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x}.

          Затем excos(x)dx=exsin(x)dxexcos(x)\int e^{- x} \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int e^{- x} \sin{\left (x \right )}\, dx - e^{- x} \cos{\left (x \right )}.

        2. Для подинтегрального выражения exsin(x)e^{- x} \sin{\left (x \right )}:

          пусть u(x)=sin(x)u{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} и пусть dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x}.

          Затем excos(x)dx=excos(x)dx+exsin(x)excos(x)\int e^{- x} \cos{\left (x \right )}\, dx = \int - e^{- x} \cos{\left (x \right )}\, dx + e^{- x} \sin{\left (x \right )} - e^{- x} \cos{\left (x \right )}.

        3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

          2excos(x)dx=exsin(x)excos(x)2 \int e^{- x} \cos{\left (x \right )}\, dx = e^{- x} \sin{\left (x \right )} - e^{- x} \cos{\left (x \right )}

          Поэтому,

          excos(x)dx=ex2sin(x)ex2cos(x)\int e^{- x} \cos{\left (x \right )}\, dx = \frac{e^{- x}}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{e^{- x}}{2} \cos{\left (x \right )}

    3. Теперь упростить:

      22excos(x+π4)- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      22excos(x+π4)+constant- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    22excos(x+π4)+constant- \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- x} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
    Ответ [src]
         -1                  -1
    1   e  *sin(1)   cos(1)*e  
    - + ---------- - ----------
    2       2            2     
    cos(1)2e+sin(1)2e+12- \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2 e} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2 e} + \frac{1}{2}
    =
    =
         -1                  -1
    1   e  *sin(1)   cos(1)*e  
    - + ---------- - ----------
    2       2            2     
    cos(1)2e+sin(1)2e+12- \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2 e} + \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2 e} + \frac{1}{2}
    Численный ответ [src]
    0.55539688265335
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                       
     |                  -x                  -x
     | cos(x)          e  *sin(x)   cos(x)*e  
     | ------ dx = C + ---------- - ----------
     |    x                2            2     
     |   e                                    
     |                                        
    /                                         
    cos(x)exdx=C+exsin(x)2excos(x)2\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{e^{x}}\, dx = C + \frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(x \right)}}{2}
    График
    Интеграл cos(x)/e^x (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/8/b4/9e50958a8d0a986f4fea952f82534.png