Интеграл cos(x/3)^(4) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     4/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \3/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \cos^{4}{\left (\frac{x}{3} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{4}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \cos^{4}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{4}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

   3. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{1}{4}$

   4. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{4 x}{3} \right )} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{4 x}{3} \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{4 x}{3} \right )}\, dx$

               1. пусть $u = \frac{4 x}{3}$.

                  Тогда пусть $du = \frac{4 dx}{3}$ и подставим $\frac{3 du}{4}$:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{3}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{3}{4} \sin{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{3}{4} \sin{\left (\frac{4 x}{3} \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3}{8} \sin{\left (\frac{4 x}{3} \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{3}{8} \sin{\left (\frac{4 x}{3} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{3}{32} \sin{\left (\frac{4 x}{3} \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{2 x}{3}$.

            Тогда пусть $du = \frac{2 dx}{3}$ и подставим $\frac{3 du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{3}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{3}{2} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3}{4} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{3}{4} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{3}{32} \sin{\left (\frac{4 x}{3} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{4}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \left(\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{1}{4}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{4} \cos^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\, dx = \frac{1}{4} \int \cos^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{4 x}{3} \right )} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{4 x}{3} \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{4 x}{3} \right )}\, dx$

               1. пусть $u = \frac{4 x}{3}$.

                  Тогда пусть $du = \frac{4 dx}{3}$ и подставим $\frac{3 du}{4}$:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{3}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{3}{4} \sin{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{3}{4} \sin{\left (\frac{4 x}{3} \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3}{8} \sin{\left (\frac{4 x}{3} \right )}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{3}{8} \sin{\left (\frac{4 x}{3} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{3}{32} \sin{\left (\frac{4 x}{3} \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{2 x}{3}$.

            Тогда пусть $du = \frac{2 dx}{3}$ и подставим $\frac{3 du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{3}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{3}{2} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3}{4} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{3 x}{8} + \frac{3}{4} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{3}{32} \sin{\left (\frac{4 x}{3} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x}{8} + \frac{3}{4} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{3}{32} \sin{\left (\frac{4 x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x}{8} + \frac{3}{4} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{3}{32} \sin{\left (\frac{4 x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                            
  /                                                            
 |                        3                                    
 |     4/x\      3   3*cos (1/3)*sin(1/3)   9*cos(1/3)*sin(1/3)
 |  cos |-| dx = - + -------------------- + -------------------
 |      \3/      8            4                      8         
 |                                                             
/                                                              
0                                                              

$${{3\,\sin \left({{4}\over{3}}\right)+24\,\sin \left({{2}\over{3}} \right)+12}\over{32}}$$

Численный ответ

0.929896530555113

Ответ (Неопределённый)

  /                      /2*x\              /4*x\
 |                  3*sin|---|         3*sin|---|
 |    4/x\               \ 3 /   3*x        \ 3 /
 | cos |-| dx = C + ---------- + --- + ----------
 |     \3/              4         8        32    
 |                                               
/                                                

$${{3\,\left({{{{\sin \left({{4\,x}\over{3}}\right)}\over{2}}+{{2\,x }\over{3}}}\over{8}}+{{x}\over{6}}+{{\sin \left({{2\,x}\over{3}} \right)}\over{2}}\right)}\over{2}}$$