Интеграл cos(x/3)^(2) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     2/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \3/   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{1}{2}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{2 x}{3}$.

            Тогда пусть $du = \frac{2 dx}{3}$ и подставим $\frac{3 du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{3}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{3}{2} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3}{4} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{3}{4} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (\frac{2 x}{3} \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \frac{2 x}{3}$.

            Тогда пусть $du = \frac{2 dx}{3}$ и подставим $\frac{3 du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{3}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{3}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{3}{2} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3}{4} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{3}{4} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} + \frac{3}{4} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} + \frac{3}{4} \sin{\left (\frac{2 x}{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                     
  /                                     
 |                                      
 |     2/x\      1   3*cos(1/3)*sin(1/3)
 |  cos |-| dx = - + -------------------
 |      \3/      2            2         
 |                                      
/                                       
0                                       

$${{3\,\sin \left({{2}\over{3}}\right)+2}\over{4}}$$

Численный ответ

0.963777352302303

Ответ (Неопределённый)

  /                          /2*x\
 |                      3*sin|---|
 |    2/x\          x        \ 3 /
 | cos |-| dx = C + - + ----------
 |     \3/          2       4     
 |                                
/                                 

$${{3\,\left({{x}\over{3}}+{{\sin \left({{2\,x}\over{3}}\right) }\over{2}}\right)}\over{2}}$$