Интеграл (cos(x)-sin(x))^2 (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |                   2   
 |  (cos(x) - sin(x))  dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} \left(- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2} = \sin^{2}{\left (x \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = - 2 \int \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (x \right )}$

         Метод #2

         1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\cos^{2}{\left (x \right )}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   Результат есть: $x + \cos^{2}{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \cos^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + \cos^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                 
  /                                                 
 |                                                  
 |                   2              2           2   
 |  (cos(x) - sin(x))  dx = -1 + sin (1) + 2*cos (1)
 |                                                  
/                                                   
0                                                   

$${{\sin 2+2}\over{4}}-{{\sin 2-2}\over{4}}+\cos ^21-1$$

Численный ответ

0.291926581726429

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                        
 |                  2                 2   
 | (cos(x) - sin(x))  dx = C + x + cos (x)
 |                                        
/                                         

$${{{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}+x}\over{2}}+{{x-{{\sin \left(2 \,x\right)}\over{2}}}\over{2}}+\cos ^2x$$