Интеграл (cos(x)+sin(x))^2 (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |                   2   
 |  (cos(x) + sin(x))  dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2} = \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = 2 \int \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (x \right )}$

         Метод #2

         1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left (x \right )}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}$

   Результат есть: $x - \cos^{2}{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - \cos^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x - \cos^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |                   2             2   
 |  (cos(x) + sin(x))  dx = 1 + sin (1)
 |                                     
/                                      
0                                      

$${{\sin 2+2}\over{4}}-{{\sin 2-2}\over{4}}-\cos ^21+1$$

Численный ответ

1.70807341827357

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                        
 |                  2                 2   
 | (cos(x) + sin(x))  dx = C + x - cos (x)
 |                                        
/                                         

$${{{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}+x}\over{2}}+{{x-{{\sin \left(2 \,x\right)}\over{2}}}\over{2}}-\cos ^2x$$