Интеграл cos(x)*sin(x) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |  cos(x)*sin(x) dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u\, du = - \int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                           
  /                       2   
 |                     sin (1)
 |  cos(x)*sin(x) dx = -------
 |                        2   
/                             
0                             

$${{1}\over{2}}-{{\cos ^21}\over{2}}$$

Численный ответ

0.354036709136786

Ответ (Неопределённый)

  /                          2   
 |                        cos (x)
 | cos(x)*sin(x) dx = C - -------
 |                           2   
/                                

$$-{{\cos ^2x}\over{2}}$$