Интеграл cos(x)^(23) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     23      
 |  cos  (x) dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{23}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{23}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{11} \cos{\left(x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{11} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 11 \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 55 \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 165 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 330 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 462 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 462 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 330 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 165 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 55 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 11 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{22}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 11 \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 11 \int \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{20}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{21}{\left(x \right)}}{21}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 55 \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 55 \int \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{18}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{19}{\left(x \right)}}{19}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 165 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 165 \int \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{16}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{17}{\left(x \right)}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 330 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 330 \int \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{14}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $- 22 \sin^{15}{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 462 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 462 \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{12}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 462 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 462 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{10}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $- 42 \sin^{11}{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 330 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 330 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{8}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 165 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 165 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 55 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 55 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $11 \sin^{5}{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 11 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 11 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Результат есть: $- \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - 22 \sin^{15}{\left(x \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - 42 \sin^{11}{\left(x \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 11 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{11} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 11 \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 55 \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 165 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 330 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 462 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 462 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 330 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 165 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 55 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 11 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{22}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 11 \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 11 \int \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{20}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{21}{\left(x \right)}}{21}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 55 \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 55 \int \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{18}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{19}{\left(x \right)}}{19}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 165 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 165 \int \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{16}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{17}{\left(x \right)}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 330 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 330 \int \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{14}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $- 22 \sin^{15}{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 462 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 462 \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{12}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 462 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 462 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{10}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $- 42 \sin^{11}{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 330 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 330 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{8}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 165 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 165 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 55 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 55 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $11 \sin^{5}{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 11 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 11 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Результат есть: $- \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - 22 \sin^{15}{\left(x \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - 42 \sin^{11}{\left(x \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 11 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(- 88179 \sin^{22}{\left(x \right)} + 1062347 \sin^{20}{\left(x \right)} - 5870865 \sin^{18}{\left(x \right)} + 19684665 \sin^{16}{\left(x \right)} - 44618574 \sin^{14}{\left(x \right)} + 72076158 \sin^{12}{\left(x \right)} - 85180914 \sin^{10}{\left(x \right)} + 74364290 \sin^{8}{\left(x \right)} - 47805615 \sin^{6}{\left(x \right)} + 22309287 \sin^{4}{\left(x \right)} - 7436429 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2028117\right) \sin{\left(x \right)}}{2028117}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(- 88179 \sin^{22}{\left(x \right)} + 1062347 \sin^{20}{\left(x \right)} - 5870865 \sin^{18}{\left(x \right)} + 19684665 \sin^{16}{\left(x \right)} - 44618574 \sin^{14}{\left(x \right)} + 72076158 \sin^{12}{\left(x \right)} - 85180914 \sin^{10}{\left(x \right)} + 74364290 \sin^{8}{\left(x \right)} - 47805615 \sin^{6}{\left(x \right)} + 22309287 \sin^{4}{\left(x \right)} - 7436429 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2028117\right) \sin{\left(x \right)}}{2028117}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(- 88179 \sin^{22}{\left(x \right)} + 1062347 \sin^{20}{\left(x \right)} - 5870865 \sin^{18}{\left(x \right)} + 19684665 \sin^{16}{\left(x \right)} - 44618574 \sin^{14}{\left(x \right)} + 72076158 \sin^{12}{\left(x \right)} - 85180914 \sin^{10}{\left(x \right)} + 74364290 \sin^{8}{\left(x \right)} - 47805615 \sin^{6}{\left(x \right)} + 22309287 \sin^{4}{\left(x \right)} - 7436429 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2028117\right) \sin{\left(x \right)}}{2028117}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                                                  7            19            3         23            21             9             17             13            
        11            15            5      165*sin (1)   55*sin  (1)   11*sin (1)   sin  (1)   11*sin  (1)   110*sin (1)   165*sin  (1)   462*sin  (1)         
- 42*sin  (1) - 22*sin  (1) + 11*sin (1) - ----------- - ----------- - ---------- - -------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------ + sin(1)
                                                7             19           3           23           21            3             17             13              

$$- \frac{165 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} - 42 \sin^{11}{\left(1 \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - 22 \sin^{15}{\left(1 \right)} - \frac{55 \sin^{19}{\left(1 \right)}}{19} - \frac{\sin^{23}{\left(1 \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(1 \right)}}{21} + \frac{165 \sin^{17}{\left(1 \right)}}{17} + \sin{\left(1 \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(1 \right)}}{13} + 11 \sin^{5}{\left(1 \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(1 \right)}}{3}$$

=

=

                                                  7            19            3         23            21             9             17             13            
        11            15            5      165*sin (1)   55*sin  (1)   11*sin (1)   sin  (1)   11*sin  (1)   110*sin (1)   165*sin  (1)   462*sin  (1)         
- 42*sin  (1) - 22*sin  (1) + 11*sin (1) - ----------- - ----------- - ---------- - -------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------ + sin(1)
                                                7             19           3           23           21            3             17             13              

$$- \frac{165 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} - 42 \sin^{11}{\left(1 \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - 22 \sin^{15}{\left(1 \right)} - \frac{55 \sin^{19}{\left(1 \right)}}{19} - \frac{\sin^{23}{\left(1 \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(1 \right)}}{21} + \frac{165 \sin^{17}{\left(1 \right)}}{17} + \sin{\left(1 \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(1 \right)}}{13} + 11 \sin^{5}{\left(1 \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(1 \right)}}{3}$$

Численный ответ

0.258509722128661

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                                                                               
 |                                                                   7            19            3         23            21             9             17             13            
 |    23                   11            15            5      165*sin (x)   55*sin  (x)   11*sin (x)   sin  (x)   11*sin  (x)   110*sin (x)   165*sin  (x)   462*sin  (x)         
 | cos  (x) dx = C - 42*sin  (x) - 22*sin  (x) + 11*sin (x) - ----------- - ----------- - ---------- - -------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------ + sin(x)
 |                                                                 7             19           3           23           21            3             17             13              
/                                                                                                                                                                                 

$$\int \cos^{23}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - 22 \sin^{15}{\left(x \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - 42 \sin^{11}{\left(x \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 11 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$$

График