Интеграл (cos(x))^(-1) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |  cos(x)   
 |           
/            
0            

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /           
 |            
 |     1      
 | 1*------ dx
 |   cos(x)   
 |            
/             

Подинтегральная функция

  1   
------
cos(x)

Домножим числитель и знаменатель на

cos(x)

получим

  1      1*cos(1*x)
------ = ----------
cos(x)      2      
         cos (1*x) 

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2             2   
cos (x) = 1 - sin (x)

преобразуем знаменатель

1*cos(1*x)     1*cos(1*x) 
---------- = -------------
   2                2     
cos (1*x)    1 - sin (1*x)

сделаем замену

u = sin(x)

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |   1*cos(1*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (1*x)     
 |                   
/                    
  

  /                  
 |                   
 |   1*cos(1*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (1*x)     
 |                   
/                    
  

Т.к. du = dx*cos(x)

  /                
 |                 
 |   1*cos(1*x)    
 | ------------- du
 |        2        
 | 1 - sin (1*x)   
 |                 
/                  

Перепишем подинтегральную функцию

  1*cos(1*x)    1*1 /  1       1  \
------------- = ---*|----- + -----|
       2         2  \1 - u   1 + u/
1 - sin (1*x)                      

тогда

                        /             /          
                       |             |           
                       |   1         |   1       
                       | ----- du    | ----- du  
  /                    | 1 + u       | 1 - u     
 |                     |             |           
 |   1*cos(1*x)       /             /           =
 | ------------- du = ----------- + -----------  
 |        2                2             2       
 | 1 - sin (1*x)                                 
 |                                               
/                                                
  

= u*cos(x)/(1 - sin(x)^2)

делаем обратную замену

u = sin(x)

Ответ

  /                                                     
 |                                                      
 |     1         log(1 + sin(x))   log(-1 + sin(x))     
 | 1*------ dx = --------------- - ---------------- + C0
 |   cos(x)             2                 2             
 |                                                      
/                                                       

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

log(1 + sin(1))   log(1 - sin(1))
--------------- - ---------------
       2                 2       

$$\frac{\log{\left(\sin{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(1 - \sin{\left(1 \right)} \right)}}{2}$$

=

=

log(1 + sin(1))   log(1 - sin(1))
--------------- - ---------------
       2                 2       

$$\frac{\log{\left(\sin{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(1 - \sin{\left(1 \right)} \right)}}{2}$$

Численный ответ

1.22619117088352

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 |   1             log(1 + sin(x))   log(-1 + sin(x))
 | ------ dx = C + --------------- - ----------------
 | cos(x)                 2                 2        
 |                                                   
/                                                    

$$\int \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$

График