Интеграл cos(x^(1/2)) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     /  ___\   
 |  cos\\/ x / dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \sqrt{x}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

   $\int u \cos{\left (u \right )}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int u \cos{\left (u \right )}\, du = 2 \int u \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

      Таким образом, результат будет: $2 u \sin{\left (u \right )} + 2 \cos{\left (u \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $2 \sqrt{x} \sin{\left (\sqrt{x} \right )} + 2 \cos{\left (\sqrt{x} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 \sqrt{x} \sin{\left (\sqrt{x} \right )} + 2 \cos{\left (\sqrt{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 \sqrt{x} \sin{\left (\sqrt{x} \right )} + 2 \cos{\left (\sqrt{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                         
  /                                         
 |                                          
 |     /  ___\                              
 |  cos\\/ x / dx = -2 + 2*cos(1) + 2*sin(1)
 |                                          
/                                           
0                                           

$$2\,\sin 1+2\,\cos 1-2$$

Численный ответ

0.763546581352072

Ответ (Неопределённый)

  /                                                     
 |                                                      
 |    /  ___\               /  ___\       ___    /  ___\
 | cos\\/ x / dx = C + 2*cos\\/ x / + 2*\/ x *sin\\/ x /
 |                                                      
/                                                       

$$2\,\left(\sin \sqrt{x}\,\sqrt{x}+\cos \sqrt{x}\right)$$