Интеграл (cos(x))^5 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  cos (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \cos^{5}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{5}{\left (x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (x \right )}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (x \right )} = \sin^{4}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

3. Интегрируем почленно:

   1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (x \right )} - \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (x \right )} - \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (x \right )} - \frac{2}{3} \sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                            
  /                                            
 |                      3         5            
 |     5           2*sin (1)   sin (1)         
 |  cos (x) dx = - --------- + ------- + sin(1)
 |                     3          5            
/                                              
0                                              

$${{3\,\sin ^51-10\,\sin ^31+15\,\sin 1}\over{15}}$$

Численный ответ

0.528632812911216

Ответ (Неопределённый)

  /                                             
 |                       3         5            
 |    5             2*sin (x)   sin (x)         
 | cos (x) dx = C - --------- + ------- + sin(x)
 |                      3          5            
/                                               

$${{\sin ^5x}\over{5}}-{{2\,\sin ^3x}\over{3}}+\sin x$$