Интеграл cos(x)^(7) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     7      
 |  cos (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \cos^{7}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{7}{\left (x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{3} \cos{\left (x \right )}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{3} \cos{\left (x \right )} = - \sin^{6}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 3 \sin^{4}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \sin^{6}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \sin^{6}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{7} \sin^{7}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{7} \sin^{7}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 3 \sin^{4}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{5} \sin^{5}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3}{5} \sin^{5}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \sin^{3}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \sin^{3}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от косинуса есть синус:

      $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{7} \sin^{7}{\left (x \right )} + \frac{3}{5} \sin^{5}{\left (x \right )} - \sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{7} \sin^{7}{\left (x \right )} + \frac{3}{5} \sin^{5}{\left (x \right )} - \sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{7} \sin^{7}{\left (x \right )} + \frac{3}{5} \sin^{5}{\left (x \right )} - \sin^{3}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                      
  /                                                      
 |                              7           5            
 |     7              3      sin (1)   3*sin (1)         
 |  cos (x) dx = - sin (1) - ------- + --------- + sin(1)
 |                              7          5             
/                                                        
0                                                        

$$-{{5\,\sin ^71-21\,\sin ^51+35\,\sin ^31-35\,\sin 1}\over{35}}$$

Численный ответ

0.456104465133679

Ответ (Неопределённый)

  /                                                       
 |                               7           5            
 |    7                3      sin (x)   3*sin (x)         
 | cos (x) dx = C - sin (x) - ------- + --------- + sin(x)
 |                               7          5             
/                                                         

$$-{{\sin ^7x}\over{7}}+{{3\,\sin ^5x}\over{5}}-\sin ^3x+\sin x$$