Интеграл cot(4*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |  cot(4*x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \cot{\left (4 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cot{\left (4 x \right )} = \frac{\cos{\left (4 x \right )}}{\sin{\left (4 x \right )}}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left (4 x \right )}$.

      Тогда пусть $du = 4 \cos{\left (4 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{4} \log{\left (\sin{\left (4 x \right )} \right )}$

   Метод #2

   1. пусть $u = 4 x$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{\cos{\left (u \right )}}{\sin{\left (u \right )}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left (u \right )}}{\sin{\left (u \right )}}\, du = \frac{1}{4} \int \frac{\cos{\left (u \right )}}{\sin{\left (u \right )}}\, du$

         1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (\sin{\left (u \right )} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (\sin{\left (u \right )} \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{4} \log{\left (\sin{\left (4 x \right )} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4} \log{\left (\sin{\left (4 x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4} \log{\left (\sin{\left (4 x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                     pi*I
 |  cot(4*x) dx = oo + ----
 |                      8  
/                          
0                          

$${\it \%a}$$

Численный ответ

11.3061417124612

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                   log(sin(4*x))
 | cot(4*x) dx = C + -------------
 |                         4      
/                                 

$${{\log \sin \left(4\,x\right)}\over{4}}$$