Интеграл (cot(2*x))^3 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     3        
 |  cot (2*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \cot^{3}{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cot^{3}{\left (2 x \right )} = \left(\csc^{2}{\left (2 x \right )} - 1\right) \cot{\left (2 x \right )}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \csc^{2}{\left (2 x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - 4 \cot{\left (2 x \right )} \csc^{2}{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u} \left(u - 1\right) = 1 - \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

            Результат есть: $u - \log{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{4} \log{\left (\csc^{2}{\left (2 x \right )} \right )} - \frac{1}{4} \csc^{2}{\left (2 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\csc^{2}{\left (2 x \right )} - 1\right) \cot{\left (2 x \right )} = \cot{\left (2 x \right )} \csc^{2}{\left (2 x \right )} - \cot{\left (2 x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \csc{\left (2 x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - 2 \cot{\left (2 x \right )} \csc{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u\, du = - \frac{1}{2} \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{4} \csc^{2}{\left (2 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \cot{\left (2 x \right )}\, dx = - \int \cot{\left (2 x \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cot{\left (2 x \right )} = \frac{\cos{\left (2 x \right )}}{\sin{\left (2 x \right )}}$

         2. пусть $u = \sin{\left (2 x \right )}$.

            Тогда пусть $du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{2} \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )} - \frac{1}{4} \csc^{2}{\left (2 x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4} \log{\left (\csc^{2}{\left (2 x \right )} \right )} - \frac{1}{4} \csc^{2}{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4} \log{\left (\csc^{2}{\left (2 x \right )} \right )} - \frac{1}{4} \csc^{2}{\left (2 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |     3                pi*I
 |  cot (2*x) dx = oo - ----
 |                       4  
/                           
0                           

$${\it \%a}$$

Численный ответ

1.14420629737936e+37

Ответ (Неопределённый)

  /                                             
 |                       2           /   2     \
 |    3               csc (2*x)   log\csc (2*x)/
 | cot (2*x) dx = C - --------- + --------------
 |                        4             4       
/                                               

$${{-\log \sin \left(2\,x\right)-{{1}\over{2\,\sin ^2\left(2\,x \right)}}}\over{2}}$$