Интеграл cot(3*x-2) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  cot(3*x - 2) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \cot{\left (3 x - 2 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cot{\left (3 x - 2 \right )} = \frac{\cos{\left (3 x - 2 \right )}}{\sin{\left (3 x - 2 \right )}}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left (3 x - 2 \right )}$.

      Тогда пусть $du = 3 \cos{\left (3 x - 2 \right )} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{3} \log{\left (\sin{\left (3 x - 2 \right )} \right )}$

   Метод #2

   1. пусть $u = 3 x - 2$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\cos{\left (u \right )}}{\sin{\left (u \right )}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left (u \right )}}{\sin{\left (u \right )}}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{\cos{\left (u \right )}}{\sin{\left (u \right )}}\, du$

         1. пусть $u = \sin{\left (u \right )}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left (u \right )} du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (\sin{\left (u \right )} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (\sin{\left (u \right )} \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{3} \log{\left (\sin{\left (3 x - 2 \right )} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{1}{3} \log{\left (\sin{\left (3 x - 2 \right )} \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \log{\left (\sin{\left (3 x - 2 \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3} \log{\left (\sin{\left (3 x - 2 \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                     
  /                                       /       2   \                    /       2   \
 |                      log(-tan(2))   log\1 + tan (1)/   log(tan(1))   log\1 + tan (2)/
 |  cot(3*x - 2) dx = - ------------ - ---------------- + ----------- + ----------------
 |                           3                6                3               6        
/                                                                                       
0                                                                                       

$${{\log \sin 1}\over{3}}-{{\log \sin 2}\over{3}}$$

Численный ответ

-38.9947548058377

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                       log(sin(3*x - 2))
 | cot(3*x - 2) dx = C + -----------------
 |                               3        
/                                         

$${{\log \sin \left(3\,x-2\right)}\over{3}}$$