Интеграл cot(x/2) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     /x\   
 |  cot|-| dx
 |     \2/   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \cot{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cot{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $2 du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 \log{\left (\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}} = \frac{\cos{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\sin{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   2. пусть $u = \sin{\left (\frac{x}{2} \right )}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и подставим $2 du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 \log{\left (\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $2 \log{\left (\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 \log{\left (\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 \log{\left (\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |     /x\               
 |  cot|-| dx = oo + pi*I
 |     \2/               
 |                       
/                        
0                        

$${\it \%a}$$

Численный ответ

88.096853256335

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    /x\               /   /x\\
 | cot|-| dx = C + 2*log|sin|-||
 |    \2/               \   \2//
 |                              
/                               

$$2\,\log \sin \left({{x}\over{2}}\right)$$