Интеграл cot(x)^(5) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  cot (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \cot^{5}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cot^{5}{\left (x \right )} = \left(\csc^{2}{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \cot{\left (x \right )}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(\csc^{2}{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \cot{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )} \csc^{4}{\left (x \right )} - 2 \cot{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + \cot{\left (x \right )}$

3. Интегрируем почленно:

   1. пусть $u = \csc{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{4} \csc^{4}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 \cot{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = - 2 \int \cot{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = \csc{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2} \csc^{2}{\left (x \right )}$

         Метод #2

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2} \cot^{2}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\csc^{2}{\left (x \right )}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cot{\left (x \right )} = \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   2. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$

   Результат есть: $\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{4} \csc^{4}{\left (x \right )} + \csc^{2}{\left (x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{4} \csc^{4}{\left (x \right )} + \csc^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{4} \csc^{4}{\left (x \right )} + \csc^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |     5              pi*I
 |  cot (x) dx = oo + ----
 |                     2  
/                         
0                         

$${\it \%a}$$

Численный ответ

7.26749061658134e+75

Ответ (Неопределённый)

  /                                                
 |                               4                 
 |    5                2      csc (x)              
 | cot (x) dx = C + csc (x) - ------- + log(sin(x))
 |                               4                 
/                                                  

$$\log \sin x+{{4\,\sin ^2x-1}\over{4\,\sin ^4x}}$$