Интеграл (cot(x))^3 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  cot (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \cot^{3}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cot^{3}{\left (x \right )} = \left(\csc^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \cot{\left (x \right )}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \csc^{2}{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - 2 \cot{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \left(u - 1\right)\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u} \left(u - 1\right) = 1 - \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

            Результат есть: $u - \log{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{2} + \frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \log{\left (\csc^{2}{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{2} \csc^{2}{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\csc^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \cot{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \csc{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \cot{\left (x \right )} \csc{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u\, du = - \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{2} \csc^{2}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \cot{\left (x \right )}\, dx = - \int \cot{\left (x \right )}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cot{\left (x \right )} = \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

         2. пусть $u = \sin{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left (x \right )} dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$

      Результат есть: $- \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{2} \csc^{2}{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \log{\left (\csc^{2}{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{2} \csc^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \log{\left (\csc^{2}{\left (x \right )} \right )} - \frac{1}{2} \csc^{2}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |     3              pi*I
 |  cot (x) dx = oo - ----
 |                     2  
/                         
0                         

$${\it \%a}$$

Численный ответ

9.15365037903492e+37

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                     /   2   \      2   
 |    3             log\csc (x)/   csc (x)
 | cot (x) dx = C + ------------ - -------
 |                       2            2   
/                                         

$$-\log \sin x-{{1}\over{2\,\sin ^2x}}$$