Интеграл cbrt(x)^2 (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |       2   
 |  3 ___    
 |  \/ x   dx
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt[3]{x}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ и подставим $3 du$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{4}\, du = 3 \int u^{4}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 u^{5}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2} = x^{\frac{2}{3}}$

   2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{\frac{2}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                
  /                
 |                 
 |       2         
 |  3 ___          
 |  \/ x   dx = 3/5
 |                 
/                  
0                  

$${{3}\over{5}}$$

Численный ответ

0.6

Ответ (Неопределённый)

  /                      
 |                       
 |      2             5/3
 | 3 ___           3*x   
 | \/ x   dx = C + ------
 |                   5   
/                        

$${{3\,x^{{{5}\over{3}}}}\over{5}}$$