Интеграл log((2-x)/(2+x)) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     /2 - x\   
 |  log|-----| dx
 |     \2 + x/   
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\frac{- x + 2}{x + 2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{- x + 2}{x + 2} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{- x + 2} \left(x + 2\right) \left(- \frac{- x + 2}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{x + 2}\right)$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $4 du$:

      $\int \frac{u}{u^{2} - 4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u}{u^{2} - 4}\, du = 4 \int \frac{u}{u^{2} - 4}\, du$

         1. пусть $u = u^{2} - 4$.

            Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log{\left (u^{2} - 4 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (u^{2} - 4 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 \log{\left (x^{2} - 4 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{- x + 2} \left(x + 2\right) \left(- \frac{- x + 2}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{x + 2}\right) = \frac{2}{x + 2} + \frac{2}{x - 2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x + 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x + 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x - 2 \right )}$

      Результат есть: $2 \log{\left (x - 2 \right )} + 2 \log{\left (x + 2 \right )}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{- x + 2} \left(x + 2\right) \left(- \frac{- x + 2}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{x + 2}\right) = \frac{x^{3}}{- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 8} - \frac{x^{2}}{- x^{2} + 4} - \frac{4 x}{- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 8} - \frac{2 x}{- x^{2} + 4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{3}}{- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 8} = -1 + \frac{5}{2 x + 4} - \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{2 x - 4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -1\, dx = - x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{5}{2 x + 4}\, dx = \frac{5}{2} \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

            1. пусть $u = x + 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 2 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{5}{2} \log{\left (x + 2 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx = - 2 \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx$

            1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

               Метод #1

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{x + 2}$

               Метод #2

               1. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} + 4 x + 4}$

               2. Перепишите подынтегральное выражение:

                  $\frac{1}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}$

                  None

            Таким образом, результат будет: $\frac{2}{x + 2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{2 x - 4}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

            1. пусть $u = x - 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 2 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )}$

         Результат есть: $- x - \frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )} + \frac{5}{2} \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{2}{x + 2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{x^{2}}{- x^{2} + 4}\, dx = - \int \frac{x^{2}}{- x^{2} + 4}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{- x^{2} + 4} = -1 + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -1\, dx = - x$

            1. пусть $u = x + 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 2 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x - 2}\, dx = - \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

               1. пусть $u = x - 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 2 \right )}$

            Результат есть: $- x - \log{\left (x - 2 \right )} + \log{\left (x + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $x + \log{\left (x - 2 \right )} - \log{\left (x + 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{4 x}{- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 8}\, dx = - 4 \int \frac{x}{- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 8}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 8} = \frac{1}{8 x + 16} - \frac{1}{2 \left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{8 x - 16}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{8 x + 16}\, dx = \frac{1}{8} \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \log{\left (x + 2 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{2 \left(x + 2\right)^{2}}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{x + 2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 x + 4}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{8 x - 16}\, dx = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

               1. пусть $u = x - 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{8} \log{\left (x - 2 \right )}$

            Результат есть: $- \frac{1}{8} \log{\left (x - 2 \right )} + \frac{1}{8} \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{2 x + 4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{2}{x + 2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{2 x}{- x^{2} + 4}\, dx = - 2 \int \frac{x}{- x^{2} + 4}\, dx$

         1. пусть $u = - x^{2} + 4$.

            Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2} \log{\left (- x^{2} + 4 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\log{\left (- x^{2} + 4 \right )}$

      Результат есть: $\log{\left (x - 2 \right )} + \log{\left (x + 2 \right )} + \log{\left (- x^{2} + 4 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (\frac{- x + 2}{x + 2} \right )} - 2 \log{\left (x^{2} - 4 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (\frac{- x + 2}{x + 2} \right )} - 2 \log{\left (x^{2} - 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (\frac{- x + 2}{x + 2} \right )} - 2 \log{\left (x^{2} - 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                     
  /                                     
 |                                      
 |     /2 - x\                          
 |  log|-----| dx = -3*log(3) + 2*log(4)
 |     \2 + x/                          
 |                                      
/                                       
0                                       

$$4\,\left({{4\,\log 4-3\,\log 3}\over{4}}-\log 2\right)$$

Численный ответ

-0.523248143764548

Ответ (Неопределённый)

  /                                                 
 |                                                  
 |    /2 - x\               /      2\        /2 - x\
 | log|-----| dx = C - 2*log\-4 + x / + x*log|-----|
 |    \2 + x/                                \2 + x/
 |                                                  
/                                                   

$$x\,\log \left({{2-x}\over{x+2}}\right)-2\,\log \left(x+2\right)-2\, \log \left(x-2\right)$$