Интеграл log(2*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |  log(2*x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \log{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \log{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} \log{\left (u \right )} - \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \log{\left (2 x \right )} - x$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (2 x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

2. Теперь упростить:

   $x \left(\log{\left (2 x \right )} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\log{\left (2 x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \left(\log{\left (2 x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                          
  /                          
 |                           
 |  log(2*x) dx = -1 + log(2)
 |                           
/                            
0                            

$${{2\,\log 2-2}\over{2}}$$

Численный ответ

-0.306852819440055

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                                 
 | log(2*x) dx = C - x + x*log(2*x)
 |                                 
/                                  

$${{2\,x\,\log \left(2\,x\right)-2\,x}\over{2}}$$