Интеграл log(2*x+1) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  log(2*x + 1) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \log{\left (2 x + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \log{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2} \log{\left (u \right )} - \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x + \frac{1}{2} \left(2 x + 1\right) \log{\left (2 x + 1 \right )} - \frac{1}{2}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (2 x + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2}{2 x + 1}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{2 x}{2 x + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{2 x + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{2 x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4 x + 2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{4 x + 2}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx$

            1. пусть $u = 2 x + 1$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{2} \log{\left (2 x + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (2 x + 1 \right )}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \log{\left (2 x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $x - \frac{1}{2} \log{\left (2 x + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- x + \frac{1}{2} \left(2 x + 1\right) \log{\left (2 x + 1 \right )} - \frac{1}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + \frac{1}{2} \left(2 x + 1\right) \log{\left (2 x + 1 \right )} - \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x + \frac{1}{2} \left(2 x + 1\right) \log{\left (2 x + 1 \right )} - \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                
  /                                
 |                         3*log(3)
 |  log(2*x + 1) dx = -1 + --------
 |                            2    
/                                  
0                                  

$${{3\,\log 3-2}\over{2}}$$

Численный ответ

0.647918433002165

Ответ (Неопределённый)

  /                                                      
 |                     1           (2*x + 1)*log(2*x + 1)
 | log(2*x + 1) dx = - - + C - x + ----------------------
 |                     2                     2           
/                                                        

$${{\left(2\,x+1\right)\,\log \left(2\,x+1\right)-2\,x-1}\over{2}}$$