Интеграл log(2*x+3) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
      /                
     |                 
     |  log(2*x + 3) dx
     |                 
    /                  
    0                  
    01log(2x+3)dx\int_{0}^{1} \log{\left (2 x + 3 \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=2x+3u = 2 x + 3.

        Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

        log(u)du\int \log{\left (u \right )}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          log(u)du=12log(u)du\int \log{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \log{\left (u \right )}\, du

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(u)=log(u)u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )} и пусть dv(u)=1\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1 dx.

            Затем du(u)=1u\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u} dx.

            Чтобы найти v(u)v{\left (u \right )}:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1du=u\int 1\, du = u

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1du=u\int 1\, du = u

          Таким образом, результат будет: u2log(u)u2\frac{u}{2} \log{\left (u \right )} - \frac{u}{2}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x+12(2x+3)log(2x+3)32- x + \frac{1}{2} \left(2 x + 3\right) \log{\left (2 x + 3 \right )} - \frac{3}{2}

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=log(2x+3)u{\left (x \right )} = \log{\left (2 x + 3 \right )} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

        Затем du(x)=22x+3\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2}{2 x + 3} dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        2x2x+3dx=2x2x+3dx\int \frac{2 x}{2 x + 3}\, dx = 2 \int \frac{x}{2 x + 3}\, dx

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          x2x+3=1234x+6\frac{x}{2 x + 3} = \frac{1}{2} - \frac{3}{4 x + 6}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            34x+6dx=3212x+3dx\int - \frac{3}{4 x + 6}\, dx = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx

            1. пусть u=2x+3u = 2 x + 3.

              Тогда пусть du=2dxdu = 2 dx и подставим du2\frac{du}{2}:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1udu=121udu\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du

                1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

                Таким образом, результат будет: 12log(u)\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              12log(2x+3)\frac{1}{2} \log{\left (2 x + 3 \right )}

            Таким образом, результат будет: 34log(2x+3)- \frac{3}{4} \log{\left (2 x + 3 \right )}

          Результат есть: x234log(2x+3)\frac{x}{2} - \frac{3}{4} \log{\left (2 x + 3 \right )}

        Таким образом, результат будет: x32log(2x+3)x - \frac{3}{2} \log{\left (2 x + 3 \right )}

    2. Теперь упростить:

      x+12(2x+3)log(2x+3)32- x + \frac{1}{2} \left(2 x + 3\right) \log{\left (2 x + 3 \right )} - \frac{3}{2}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x+12(2x+3)log(2x+3)32+constant- x + \frac{1}{2} \left(2 x + 3\right) \log{\left (2 x + 3 \right )} - \frac{3}{2}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x+12(2x+3)log(2x+3)32+constant- x + \frac{1}{2} \left(2 x + 3\right) \log{\left (2 x + 3 \right )} - \frac{3}{2}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-101050-25
    Ответ [src]
      1                                           
      /                                           
     |                         3*log(3)   5*log(5)
     |  log(2*x + 3) dx = -1 - -------- + --------
     |                            2          2    
    /                                             
    0                                             
    5log53log322{{5\,\log 5-3\,\log 3-2}\over{2}}
    Численный ответ [src]
    1.37567634808309
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                      
     |                     3           (2*x + 3)*log(2*x + 3)
     | log(2*x + 3) dx = - - + C - x + ----------------------
     |                     2                     2           
    /                                                        
    (2x+3)log(2x+3)2x32{{\left(2\,x+3\right)\,\log \left(2\,x+3\right)-2\,x-3}\over{2}}