Интеграл log(2*x)^(2) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     2        
 |  log (2*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \log^{2}{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\log^{2}{\left (2 x \right )} = \log^{2}{\left (x \right )} + 2 \log{\left (2 \right )} \log{\left (x \right )} + \log^{2}{\left (2 \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $x \log^{2}{\left (x \right )} - 2 x \log{\left (x \right )} + 2 x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \log{\left (2 \right )} \log{\left (x \right )}\, dx = 2 \log{\left (2 \right )} \int \log{\left (x \right )}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Таким образом, результат будет: $2 \left(x \log{\left (x \right )} - x\right) \log{\left (2 \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \log^{2}{\left (2 \right )}\, dx = x \log^{2}{\left (2 \right )}$

   Результат есть: $x \log^{2}{\left (x \right )} - 2 x \log{\left (x \right )} + x \log^{2}{\left (2 \right )} + 2 x + 2 \left(x \log{\left (x \right )} - x\right) \log{\left (2 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \left(\left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (4 \right )} + \log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} + \log^{2}{\left (2 \right )} + 2\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (4 \right )} + \log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} + \log^{2}{\left (2 \right )} + 2\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \left(\left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (4 \right )} + \log^{2}{\left (x \right )} - 2 \log{\left (x \right )} + \log^{2}{\left (2 \right )} + 2\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                      
  /                                      
 |                                       
 |     2                  2              
 |  log (2*x) dx = 2 + log (2) - 2*log(2)
 |                                       
/                                        
0                                        

$${{2\,\left(\log 2\right)^2-4\,\log 2+4}\over{2}}$$

Численный ответ

1.09415865279831

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                      
 |                                                                                       
 |    2                          2           2                                           
 | log (2*x) dx = C + 2*x + x*log (2) + x*log (x) - 2*x*log(x) + 2*(-x + x*log(x))*log(2)
 |                                                                                       
/                                                                                        

$$x\,\left(\left(\log \left(2\,x\right)\right)^2-2\,\log \left(2\,x \right)+2\right)$$