Интеграл log(e^x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     / x\   
 |  log\E / dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \log{\left (e^{x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u} \log{\left (u \right )}\, du$

      1. пусть $u = \log{\left (u \right )}$.

         Тогда пусть $du = \frac{du}{u}$ и подставим $du$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (e^{x} \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (e^{x} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (e^{x} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \log^{2}{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |     / x\         
 |  log\E / dx = 1/2
 |                  
/                   
0                   

$${{\log E}\over{2}}$$

Численный ответ

0.5

Ответ (Неопределённый)

  /                         
 |                     2/ x\
 |    / x\          log \E /
 | log\E / dx = C + --------
 |                     2    
/                           

$${{\log E\,x^2}\over{2}}$$