Интеграл log(e^x+1) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |     / x    \   
 |  log\E  + 1/ dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \log{\left (e^{x} + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (e^{x} + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

   Но интеграл

   $\int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (e^{x} + 1 \right )} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (e^{x} + 1 \right )} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (e^{x} + 1 \right )} - \int \frac{x e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                           
  /                                                           
 |                                                            
 |     / x    \               /      pi*I\          /    pi*I\
 |  log\E  + 1/ dx = - polylog\2, E*e    / + polylog\2, e    /
 |                                                            
/                                                             
0                                                             

$$\int_{0}^{1} \log{\left (e^{x} + 1 \right )}\, dx = \operatorname{Li}_{2}\left(e^{i \pi}\right) - \operatorname{Li}_{2}\left(e e^{i \pi}\right)$$

Численный ответ

0.983819037020661

Ответ (Неопределённый)

                          /                         
  /                      |                          
 |                       |     x                    
 |    / x    \           |  x*e             / x    \
 | log\E  + 1/ dx = C -  | ------ dx + x*log\E  + 1/
 |                       |      x                   
/                        | 1 + e                    
                         |                          
                        /                           

$$\log \left(E^{x}+1\right)\,x-{{\log E\,\log \left(E^{x}+1\right)\,x -\log \left(-E^{x}\right)\,\log \left(E^{x}+1\right)-{\it li}_{2}(E ^{x}+1)}\over{\log E}}$$