Интеграл log(cos(t))*dt (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  log(cos(t)) dt
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\cos{\left (t \right )} \right )}\, dt$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (t \right )} = \log{\left (\cos{\left (t \right )} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (t \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (t \right )} = - \frac{\sin{\left (t \right )}}{\cos{\left (t \right )}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (t \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dt = t$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{t \sin{\left (t \right )}}{\cos{\left (t \right )}}\, dt = - \int \frac{t \sin{\left (t \right )}}{\cos{\left (t \right )}}\, dt$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\int \frac{t \sin{\left (t \right )}}{\cos{\left (t \right )}}\, dt$

   Таким образом, результат будет: $- \int \frac{t \sin{\left (t \right )}}{\cos{\left (t \right )}}\, dt$

3. Теперь упростить:

   $t \log{\left (\cos{\left (t \right )} \right )} + \int t \tan{\left (t \right )}\, dt$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $t \log{\left (\cos{\left (t \right )} \right )} + \int t \tan{\left (t \right )}\, dt+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$t \log{\left (\cos{\left (t \right )} \right )} + \int t \tan{\left (t \right )}\, dt+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    1               
  /                    /               
 |                    |                
 |  log(cos(t)) dt =  |  log(cos(t)) dt
 |                    |                
/                    /                 
0                    0                 

$$-{{2\,i\,\arctan \left({{\sin 2}\over{\cos 2+1}}\right)+\log \left( 2\,\cos 2+2\right)-i\,{\it li}_{2}(-e^{2\,i})-i}\over{2}}+\log \cos 1+{{i\,\pi^2}\over{24}}$$

Численный ответ

-0.187538169020838

Ответ (Неопределённый)

                                          /           
  /                                      |            
 |                                       | t*sin(t)   
 | log(cos(t)) dt = C + t*log(cos(t)) +  | -------- dt
 |                                       |  cos(t)    
/                                        |            
                                        /             

$$t\,\log \cos t-{{t\,\log \left(\sin ^2\left(2\,t\right)+\cos ^2 \left(2\,t\right)+2\,\cos \left(2\,t\right)+1\right)+2\,i\,t\, {\rm atan2}\left(\sin \left(2\,t\right) , \cos \left(2\,t\right)+1 \right)-i\,{\it li}_{2}(-e^{2\,i\,t})-i\,t^2}\over{2}}$$