Интеграл log(cot(x)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1               
      /               
     |                
     |  log(cot(x)) dx
     |                
    /                 
    0                 
    01log(cot(x))dx\int_{0}^{1} \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=log(cot(x))u{\left (x \right )} = \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

      Затем du(x)=cot2(x)1cot(x)\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1}{\cot{\left (x \right )}} dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Перепишите подынтегральное выражение:

      x(cot2(x)1)cot(x)=xcot(x)xcot(x)\frac{x \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right)}{\cot{\left (x \right )}} = - x \cot{\left (x \right )} - \frac{x}{\cot{\left (x \right )}}

    3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        xcot(x)dx=xcot(x)dx\int - x \cot{\left (x \right )}\, dx = - \int x \cot{\left (x \right )}\, dx

        1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

          Но интеграл

          xcot(x)dx\int x \cot{\left (x \right )}\, dx

        Таким образом, результат будет: xcot(x)dx- \int x \cot{\left (x \right )}\, dx

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        xcot(x)dx=xcot(x)dx\int - \frac{x}{\cot{\left (x \right )}}\, dx = - \int \frac{x}{\cot{\left (x \right )}}\, dx

        1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

          Но интеграл

          xcot(x)dx\int \frac{x}{\cot{\left (x \right )}}\, dx

        Таким образом, результат будет: xcot(x)dx- \int \frac{x}{\cot{\left (x \right )}}\, dx

      Результат есть: xcot(x)dxxcot(x)dx- \int \frac{x}{\cot{\left (x \right )}}\, dx - \int x \cot{\left (x \right )}\, dx

    4. Теперь упростить:

      xlog(cot(x))+xtan(x)dx+xcot(x)dxx \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} + \int x \tan{\left (x \right )}\, dx + \int x \cot{\left (x \right )}\, dx

    5. Добавляем постоянную интегрирования:

      xlog(cot(x))+xtan(x)dx+xcot(x)dx+constantx \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} + \int x \tan{\left (x \right )}\, dx + \int x \cot{\left (x \right )}\, dx+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    xlog(cot(x))+xtan(x)dx+xcot(x)dx+constantx \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} + \int x \tan{\left (x \right )}\, dx + \int x \cot{\left (x \right )}\, dx+ \mathrm{constant}

    Ответ [src]
      1                    1               
      /                    /               
     |                    |                
     |  log(cot(x)) dx =  |  log(cot(x)) dx
     |                    |                
    /                    /                 
    0                    0                 
    πlog(tan21+1)+2ili2(itan1+1)2ili2(1itan1)4logtan14logtan1-{{\pi\,\log \left(\tan ^21+1\right)+2\,i\,{\it li}_{2}(i\,\tan 1+1 )-2\,i\,{\it li}_{2}(1-i\,\tan 1)-4\,\log \tan 1}\over{4}}-\log \tan 1
    Численный ответ [src]
    0.869182036970747
    Ответ (Неопределённый) [src]
                                              /                          
      /                                      |               /           
     |                                       |   x          |            
     | log(cot(x)) dx = C + x*log(cot(x)) +  | ------ dx +  | x*cot(x) dx
     |                                       | cot(x)       |            
    /                                        |             /             
                                            /                            
    πlog(tan2x+1)+2ili2(itanx+1)2ili2(1itanx)4xlogtanx4xlogtanx-{{\pi\,\log \left(\tan ^2x+1\right)+2\,i\,{\it li}_{2}(i\,\tan x+1 )-2\,i\,{\it li}_{2}(1-i\,\tan x)-4\,x\,\log \tan x}\over{4}}-x\, \log \tan x