Интеграл log(cot(x)) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  log(cot(x)) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1}{\cot{\left (x \right )}}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right)}{\cot{\left (x \right )}} = - x \cot{\left (x \right )} - \frac{x}{\cot{\left (x \right )}}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x \cot{\left (x \right )}\, dx = - \int x \cot{\left (x \right )}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\int x \cot{\left (x \right )}\, dx$

      Таким образом, результат будет: $- \int x \cot{\left (x \right )}\, dx$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x}{\cot{\left (x \right )}}\, dx = - \int \frac{x}{\cot{\left (x \right )}}\, dx$

      1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

         Но интеграл

         $\int \frac{x}{\cot{\left (x \right )}}\, dx$

      Таким образом, результат будет: $- \int \frac{x}{\cot{\left (x \right )}}\, dx$

   Результат есть: $- \int \frac{x}{\cot{\left (x \right )}}\, dx - \int x \cot{\left (x \right )}\, dx$

4. Теперь упростить:

   $x \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} + \int x \tan{\left (x \right )}\, dx + \int x \cot{\left (x \right )}\, dx$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} + \int x \tan{\left (x \right )}\, dx + \int x \cot{\left (x \right )}\, dx+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} + \int x \tan{\left (x \right )}\, dx + \int x \cot{\left (x \right )}\, dx+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    1               
  /                    /               
 |                    |                
 |  log(cot(x)) dx =  |  log(cot(x)) dx
 |                    |                
/                    /                 
0                    0                 

$$-{{\pi\,\log \left(\tan ^21+1\right)+2\,i\,{\it li}_{2}(i\,\tan 1+1 )-2\,i\,{\it li}_{2}(1-i\,\tan 1)-4\,\log \tan 1}\over{4}}-\log \tan 1$$

Численный ответ

0.869182036970747

Ответ (Неопределённый)

                                          /                          
  /                                      |               /           
 |                                       |   x          |            
 | log(cot(x)) dx = C + x*log(cot(x)) +  | ------ dx +  | x*cot(x) dx
 |                                       | cot(x)       |            
/                                        |             /             
                                        /                            

$$-{{\pi\,\log \left(\tan ^2x+1\right)+2\,i\,{\it li}_{2}(i\,\tan x+1 )-2\,i\,{\it li}_{2}(1-i\,\tan x)-4\,x\,\log \tan x}\over{4}}-x\, \log \tan x$$