Интеграл log(sqrt(x)) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     /  ___\   
 |  log\\/ x / dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\sqrt{x} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{x}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

      $\int u \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u \log{\left (u \right )}\, du = 2 \int u \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = u$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{1}{2} \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $u^{2} \log{\left (u \right )} - \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \log{\left (\sqrt{x} \right )} - \frac{x}{2}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\sqrt{x} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{2 x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

2. Теперь упростить:

   $x \left(\log{\left (\sqrt{x} \right )} - \frac{1}{2}\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\log{\left (\sqrt{x} \right )} - \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \left(\log{\left (\sqrt{x} \right )} - \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |     /  ___\          
 |  log\\/ x / dx = -1/2
 |                      
/                       
0                       

$$-{{1}\over{2}}$$

Численный ответ

-0.5

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                                     
 |    /  ___\          x        /  ___\
 | log\\/ x / dx = C - - + x*log\\/ x /
 |                     2               
/                                      

$${{x\,\log x-x}\over{2}}$$