Интеграл log(-x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |  log(-x) dx
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \log{\left (- x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \log{\left (u \right )}\, du = - \int \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- u \log{\left (u \right )} + u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \log{\left (- x \right )} - x$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (- x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

2. Теперь упростить:

   $x \left(\log{\left (- x \right )} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\log{\left (- x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \left(\log{\left (- x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |  log(-x) dx = -1 + pi*I
 |                        
/                         
0                         

$$\log \left(-1\right)-1$$

Численный ответ

(-1.0 + 3.14159265358979j)

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                               
 | log(-x) dx = C - x + x*log(-x)
 |                               
/                                

$$\log \left(-x\right)\,x-x$$