Интеграл log(1-2*x) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  log(1 - 2*x) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int\limits_{0}^{1} \log{\left(1 - 2 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 1 - 2 x$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u \log{\left(u \right)}}{2} + \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\left(- \frac{1}{2}\right) 2 x - \frac{\left(1 - 2 x\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - 2 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{1 - 2 x}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{2 x}{1 - 2 x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{1 - 2 x}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{1 - 2 x} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx = - \frac{x}{2}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 2 x - 1$.

                  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{4 u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

            Результат есть: $- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{1 - 2 x} = - \frac{x}{2 x - 1}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{x}{2 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{2 x - 1}\, dx$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{x}{2 x - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2 \cdot \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$

                  1. пусть $u = 2 x - 1$.

                     Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{1}{4 u}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                        1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

     pi*I
-1 + ----
      2  

$$-1 + \frac{i \pi}{2}$$

=

=

     pi*I
-1 + ----
      2  

$$-1 + \frac{i \pi}{2}$$

Численный ответ

(-inf + 1.55151975569902j)

Ответ (Неопределённый)

  /                                                          
 |                   1                 (1 - 2*x)*log(1 - 2*x)
 | log(1 - 2*x) dx = - + C - 1/2*2*x - ----------------------
 |                   2                           2           
/                                                            

$$\int \log{\left(1 - 2 x \right)}\, dx = C - 1 x - \frac{\left(1 - 2 x\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$

График