Интеграл log(1-x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  log(1 - x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \log{\left (- x + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x + 1$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \log{\left (u \right )}\, du = - \int \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- u \log{\left (u \right )} + u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x - \left(- x + 1\right) \log{\left (- x + 1 \right )} + 1$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (- x + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{- x + 1}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x}{- x + 1}\, dx = - \int \frac{x}{- x + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{- x + 1} = -1 - \frac{1}{x - 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -1\, dx = - x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

            1. пусть $u = x - 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 1 \right )}$

         Результат есть: $- x - \log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $x + \log{\left (x - 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- x + \left(x - 1\right) \log{\left (- x + 1 \right )} + 1$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + \left(x - 1\right) \log{\left (- x + 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x + \left(x - 1\right) \log{\left (- x + 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                            
  /                            
 |                             
 |  log(1 - x) dx = -1 + 2*pi*I
 |                             
/                              
0                              

$$-1$$

Численный ответ

-1.0

Ответ (Неопределённый)

  /                                              
 |                                               
 | log(1 - x) dx = 1 + C - x - (1 - x)*log(1 - x)
 |                                               
/                                                

$$-x-\log \left(1-x\right)\,\left(1-x\right)+1$$