Интеграл log(1-x^2) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |     /     2\   
 |  log\1 - x / dx
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} \log{\left(1 - x^{2} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - x^{2} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{1 - x^{2}}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{2 x^{2}}{1 - x^{2}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x^{2}}{1 - x^{2}}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = -1 + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x + 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = x - 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

         Результат есть: $- x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = - \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = x - 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

            Результат есть: $x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $2 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left(1 - x^{2} \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left(1 - x^{2} \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-2 + 2*log(2)

$$-2 + 2 \log{\left(2 \right)}$$

=

=

-2 + 2*log(2)

$$-2 + 2 \log{\left(2 \right)}$$

Численный ответ

-0.613705638880109

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                   
 |                                                                    
 |    /     2\                                   /     2\             
 | log\1 - x / dx = C - log(-1 + x) - 2*x + x*log\1 - x / + log(1 + x)
 |                                                                    
/                                                                     

$$\int \log{\left(1 - x^{2} \right)}\, dx = C + x \log{\left(1 - x^{2} \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}$$