Интеграл log(1+sqrt(x)) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |     /      ___\   
 |  log\1 + \/ x / dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\sqrt{x} + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\sqrt{x} + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $- 2 \sqrt{x} + x + 2 \log{\left (\sqrt{x} + 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \sqrt{x} + \frac{x}{2} + \log{\left (\sqrt{x} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\sqrt{x} + x \log{\left (\sqrt{x} + 1 \right )} - \frac{x}{2} - \log{\left (\sqrt{x} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\sqrt{x} + x \log{\left (\sqrt{x} + 1 \right )} - \frac{x}{2} - \log{\left (\sqrt{x} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |     /      ___\         
 |  log\1 + \/ x / dx = 1/2
 |                         
/                          
0                          

$${{1}\over{2}}$$

Численный ответ

0.5

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                     
 |                                                                      
 |    /      ___\            ___      /      ___\   x        /      ___\
 | log\1 + \/ x / dx = C + \/ x  - log\1 + \/ x / - - + x*log\1 + \/ x /
 |                                                  2                   
/                                                                       

$$2\,\left({{\log \left(\sqrt{x}+1\right)\,x}\over{2}}-{{{{x-2\, \sqrt{x}}\over{2}}+\log \left(\sqrt{x}+1\right)}\over{2}}\right)$$