Интеграл log(1+1/n) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     /    1\   
 |  log|1 + -| dn
 |     \    n/   
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \log{\left (1 + \frac{1}{n} \right )}\, dn$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (n \right )} = \log{\left (1 + \frac{1}{n} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (n \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (n \right )} = - \frac{1}{n^{2} \left(1 + \frac{1}{n}\right)}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (n \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dn = n$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{n \left(1 + \frac{1}{n}\right)}\, dn = - \int \frac{1}{n \left(1 + \frac{1}{n}\right)}\, dn$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{n \left(1 + \frac{1}{n}\right)} = \frac{1}{n + 1}$

      2. пусть $u = n + 1$.

         Тогда пусть $du = dn$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (n + 1 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{n \left(1 + \frac{1}{n}\right)} = \frac{1}{n + 1}$

      2. пусть $u = n + 1$.

         Тогда пусть $du = dn$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (n + 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \log{\left (n + 1 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $n \log{\left (\frac{1}{n} \left(n + 1\right) \right )} + \log{\left (n + 1 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $n \log{\left (\frac{1}{n} \left(n + 1\right) \right )} + \log{\left (n + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$n \log{\left (\frac{1}{n} \left(n + 1\right) \right )} + \log{\left (n + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |     /    1\              
 |  log|1 + -| dn = 2*log(2)
 |     \    n/              
 |                          
/                           
0                           

$$2\,\log 2$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                             
 |                                              
 |    /    1\               /    1\             
 | log|1 + -| dn = C + n*log|1 + -| + log(1 + n)
 |    \    n/               \    n/             
 |                                              
/                                               

$$\log \left(n+1\right)+\log \left({{1}\over{n}}+1\right)\,n$$