Интеграл log(1+tan(x)) (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |  log(1 + tan(x)) dx
 |                    
/                     
0                     

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\tan{\left (x \right )} + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\tan{\left (x \right )} + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\tan{\left (x \right )} + 1} = \frac{x \tan^{2}{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} + 1} + \frac{x}{\tan{\left (x \right )} + 1}$

3. Интегрируем почленно:

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\int \frac{x \tan^{2}{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} + 1}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\int \frac{x}{\tan{\left (x \right )} + 1}\, dx$

   Результат есть: $\int \frac{x}{\tan{\left (x \right )} + 1}\, dx + \int \frac{x \tan^{2}{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} + 1}\, dx$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (\tan{\left (x \right )} + 1 \right )} - \int \frac{x}{\tan{\left (x \right )} + 1}\, dx - \int \frac{x \tan^{2}{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} + 1}\, dx+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (\tan{\left (x \right )} + 1 \right )} - \int \frac{x}{\tan{\left (x \right )} + 1}\, dx - \int \frac{x \tan^{2}{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} + 1}\, dx+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        1                   
  /                        /                   
 |                        |                    
 |  log(1 + tan(x)) dx =  |  log(1 + tan(x)) dx
 |                        |                    
/                        /                     
0                        0                     

$$-{{4\,\log \left({{\tan ^21+2\,\tan 1+1}\over{2}}\right)-\pi\,\log \left(\tan ^21+1\right)+4\,i\,{\it li}_{2}(-{{\left(i+1\right)\, \tan 1+i-1}\over{2}})-4\,i\,{\it li}_{2}({{\left(i-1\right)\,\tan 1+ i+1}\over{2}})}\over{8}}+\log \left(\tan 1+1\right)-{{i\,{\it li}_{2 }({{i+1}\over{2}})-i\,{\it li}_{2}(-{{i-1}\over{2}})}\over{2}}$$

Численный ответ

0.446043170167152

Ответ (Неопределённый)

                                                 /                                 
                              /                 |                                  
  /                          |                  |      2                           
 |                           |     x            | x*tan (x)                        
 | log(1 + tan(x)) dx = C -  | ---------- dx -  | ---------- dx + x*log(1 + tan(x))
 |                           | 1 + tan(x)       | 1 + tan(x)                       
/                            |                  |                                  
                            /                  /                                   

$$x\,\log \left(\tan x+1\right)-{{x\,\log \left({{\tan ^2x+2\,\tan x+ 1}\over{2}}\right)-{\rm atan2}\left({{\tan x+1}\over{2}} , {{\tan x+ 1}\over{2}}\right)\,\log \left(\tan ^2x+1\right)-i\,{\it li}_{2}({{i \,\left(\left(i+1\right)\,\tan x-i+1\right)}\over{2}})+i\,{\it li}_{ 2}({{i\,\left(\left(i-1\right)\,\tan x-i-1\right)}\over{2}})}\over{2 }}$$