Интеграл log(1+x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  log(1 + x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \log{\left (x + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x + \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} - 1$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 1}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $x - \log{\left (x + 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} - 1+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x + \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} - 1+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                              
  /                              
 |                               
 |  log(1 + x) dx = -1 + 2*log(2)
 |                               
/                                
0                                

$$2\,\log 2-1$$

Численный ответ

0.386294361119891

Ответ (Неопределённый)

  /                                               
 |                                                
 | log(1 + x) dx = -1 + C - x + (1 + x)*log(1 + x)
 |                                                
/                                                 

$$\left(x+1\right)\,\log \left(x+1\right)-x-1$$