Интеграл log(1+x^3) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |     /     3\   
 |  log\1 + x / dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \log{\left (x^{3} + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x^{3} + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{3 x^{3}}{x^{3} + 1}\, dx = 3 \int \frac{x^{3}}{x^{3} + 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{3}}{x^{3} + 1} = \frac{x - 2}{3 x^{2} - 3 x + 3} + 1 - \frac{1}{3 x + 3}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x - 2}{3 x^{2} - 3 x + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{x - 2}{x^{2} - x + 1}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x - 2}{x^{2} - x + 1} = \frac{x}{x^{2} - x + 1} - \frac{2}{x^{2} - x + 1}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{2}{x^{2} - x + 1}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2} - x + 1}\, dx$

               1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

                  Но интеграл

                  $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

            Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{3 x + 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $x - \frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

   Таким образом, результат будет: $3 x - \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (x^{3} + 1 \right )} - 3 x + \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (x^{3} + 1 \right )} - 3 x + \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (x^{3} + 1 \right )} - 3 x + \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                          
  /                                          
 |                                        ___
 |     /     3\                      pi*\/ 3 
 |  log\1 + x / dx = -3 + 2*log(2) + --------
 |                                      3    
/                                            
0                                            

$${{{{12\,\log 2+\sqrt{3}\,\pi-18}\over{2}}+{{\sqrt{3}\,\pi}\over{2}} }\over{3}}$$

Численный ответ

0.200093725354108

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                         
 |                               /     2    \                             /    ___         ___\             
 |    /     3\                log\1 + x  - x/        /     3\     ___     |  \/ 3    2*x*\/ 3 |             
 | log\1 + x / dx = C - 3*x - --------------- + x*log\1 + x / + \/ 3 *atan|- ----- + ---------| + log(1 + x)
 |                                   2                                    \    3         3    /             
/                                                                                                           

$$x\,\log \left(x^3+1\right)-3\,\left({{\log \left(x^2-x+1\right) }\over{6}}-{{\arctan \left({{2\,x-1}\over{\sqrt{3}}}\right)}\over{ \sqrt{3}}}-{{\log \left(x+1\right)}\over{3}}+x\right)$$