Интеграл log(5*x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
      /            
     |             
     |  log(5*x) dx
     |             
    /              
    0              
    01log(5x)dx\int_{0}^{1} \log{\left (5 x \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=5xu = 5 x.

        Тогда пусть du=5dxdu = 5 dx и подставим du5\frac{du}{5}:

        log(u)du\int \log{\left (u \right )}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          log(u)du=15log(u)du\int \log{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{5} \int \log{\left (u \right )}\, du

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(u)=log(u)u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )} и пусть dv(u)=1\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1 dx.

            Затем du(u)=1u\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u} dx.

            Чтобы найти v(u)v{\left (u \right )}:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              1du=u\int 1\, du = u

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1du=u\int 1\, du = u

          Таким образом, результат будет: u5log(u)u5\frac{u}{5} \log{\left (u \right )} - \frac{u}{5}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        xlog(5x)xx \log{\left (5 x \right )} - x

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=log(5x)u{\left (x \right )} = \log{\left (5 x \right )} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

        Затем du(x)=1x\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x} dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1dx=x\int 1\, dx = x

    2. Теперь упростить:

      x(log(5x)1)x \left(\log{\left (5 x \right )} - 1\right)

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x(log(5x)1)+constantx \left(\log{\left (5 x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x(log(5x)1)+constantx \left(\log{\left (5 x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-5050
    Ответ [src]
      1                          
      /                          
     |                           
     |  log(5*x) dx = -1 + log(5)
     |                           
    /                            
    0                            
    5log555{{5\,\log 5-5}\over{5}}
    Численный ответ [src]
    0.6094379124341
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                
     |                                 
     | log(5*x) dx = C - x + x*log(5*x)
     |                                 
    /                                  
    5xlog(5x)5x5{{5\,x\,\log \left(5\,x\right)-5\,x}\over{5}}