Интеграл (log(5*x))/x (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |  log(5*x)   
 |  -------- dx
 |     x       
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \log{\left (5 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left (5 x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (5 x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x} \log{\left (5 x \right )} = \frac{1}{x} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \log{\left (5 \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \log{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{x} \log{\left (5 \right )}\, dx = \log{\left (5 \right )} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\log{\left (5 \right )} \log{\left (x \right )}$

      Результат есть: $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (5 \right )} \log{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (5 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \log^{2}{\left (5 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |  log(5*x)         
 |  -------- dx = -oo
 |     x             
 |                   
/                    
0                    

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-901.003027831145

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                      2     
 | log(5*x)          log (5*x)
 | -------- dx = C + ---------
 |    x                  2    
 |                            
/                             

$${{\left(\log \left(5\,x\right)\right)^2}\over{2}}$$