Интеграл log(3*x+1) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  log(3*x + 1) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \log{\left (3 x + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \log{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{3} \log{\left (u \right )} - \frac{u}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x + \frac{1}{3} \left(3 x + 1\right) \log{\left (3 x + 1 \right )} - \frac{1}{3}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (3 x + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{3}{3 x + 1}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{3 x}{3 x + 1}\, dx = 3 \int \frac{x}{3 x + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{3 x + 1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{9 x + 3}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{3}\, dx = \frac{x}{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{9 x + 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 x + 1}\, dx$

            1. пусть $u = 3 x + 1$.

               Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{3} \log{\left (3 x + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{9} \log{\left (3 x + 1 \right )}$

         Результат есть: $\frac{x}{3} - \frac{1}{9} \log{\left (3 x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $x - \frac{1}{3} \log{\left (3 x + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- x + \frac{1}{3} \left(3 x + 1\right) \log{\left (3 x + 1 \right )} - \frac{1}{3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x + \frac{1}{3} \left(3 x + 1\right) \log{\left (3 x + 1 \right )} - \frac{1}{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x + \frac{1}{3} \left(3 x + 1\right) \log{\left (3 x + 1 \right )} - \frac{1}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                
  /                                
 |                         4*log(4)
 |  log(3*x + 1) dx = -1 + --------
 |                            3    
/                                  
0                                  

$${{4\,\log 4-3}\over{3}}$$

Численный ответ

0.848392481493187

Ответ (Неопределённый)

  /                                                      
 |                     1           (3*x + 1)*log(3*x + 1)
 | log(3*x + 1) dx = - - + C - x + ----------------------
 |                     3                     3           
/                                                        

$${{\left(3\,x+1\right)\,\log \left(3\,x+1\right)-3\,x-1}\over{3}}$$