Интеграл log(x/2) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     /x\   
 |  log|-| dx
 |     \2/   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

      $\int \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \log{\left (u \right )}\, du = 2 \int \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $2 u \log{\left (u \right )} - 2 u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \log{\left (\frac{x}{2} \right )} - x$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{x}{2} \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

2. Теперь упростить:

   $x \left(\log{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\log{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \left(\log{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |     /x\                 
 |  log|-| dx = -1 - log(2)
 |     \2/                 
 |                         
/                          
0                          

$$-\log 2-1$$

Численный ответ

-1.69314718055995

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                             
 |    /x\                   /x\
 | log|-| dx = C - x + x*log|-|
 |    \2/                   \2/
 |                             
/                              

$$2\,\left({{\log \left({{x}\over{2}}\right)\,x}\over{2}}-{{x}\over{2 }}\right)$$