Интеграл log(x+2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |  log(x + 2) dx
     |               
    /                
    0                
    01log(x+2)dx\int_{0}^{1} \log{\left (x + 2 \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=x+2u = x + 2.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        log(u)du\int \log{\left (u \right )}\, du

        1. Используем интегрирование по частям:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          пусть u(u)=log(u)u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )} и пусть dv(u)=1\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1 dx.

          Затем du(u)=1u\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u} dx.

          Чтобы найти v(u)v{\left (u \right )}:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1du=u\int 1\, du = u

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1du=u\int 1\, du = u

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x+(x+2)log(x+2)2- x + \left(x + 2\right) \log{\left (x + 2 \right )} - 2

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=log(x+2)u{\left (x \right )} = \log{\left (x + 2 \right )} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

        Затем du(x)=1x+2\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 2} dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        xx+2=12x+2\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}

      3. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2x+2dx=21x+2dx\int - \frac{2}{x + 2}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

          1. пусть u=x+2u = x + 2.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x+2)\log{\left (x + 2 \right )}

          Таким образом, результат будет: 2log(x+2)- 2 \log{\left (x + 2 \right )}

        Результат есть: x2log(x+2)x - 2 \log{\left (x + 2 \right )}

    2. Теперь упростить:

      x+(x+2)log(x+2)2- x + \left(x + 2\right) \log{\left (x + 2 \right )} - 2

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x+(x+2)log(x+2)2+constant- x + \left(x + 2\right) \log{\left (x + 2 \right )} - 2+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x+(x+2)log(x+2)2+constant- x + \left(x + 2\right) \log{\left (x + 2 \right )} - 2+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2525
    Ответ [src]
      1                                         
      /                                         
     |                                          
     |  log(x + 2) dx = -1 - 2*log(2) + 3*log(3)
     |                                          
    /                                           
    0                                           
    3log32log213\,\log 3-2\,\log 2-1
    Численный ответ [src]
    0.909542504884438
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                               
     |                                                
     | log(x + 2) dx = -2 + C - x + (x + 2)*log(x + 2)
     |                                                
    /                                                 
    (x+2)log(x+2)x2\left(x+2\right)\,\log \left(x+2\right)-x-2