Интеграл (log(x)+1)/x (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  log(x) + 1   
 |  ---------- dx
 |      x        
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left (x \right )} + 1$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) = \frac{1}{x} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \log{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

         $\int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

      Результат есть: $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{2} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)^{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |  log(x) + 1         
 |  ---------- dx = -oo
 |      x              
 |                     
/                      
0                      

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)\, dx = -\infty$$

Численный ответ

-927.873417281334

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                                 2
 | log(x) + 1          (log(x) + 1) 
 | ---------- dx = C + -------------
 |     x                     2      
 |                                  
/                                   

$${{\left(\log x+1\right)^2}\over{2}}$$