Интеграл log((x+1)/x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |     /x + 1\   
 |  log|-----| dx
 |     \  x  /   
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{x}{x + 1} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)\right)$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x + 1} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)\right) = - \frac{1}{x + 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x + 1} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)\right) = - \frac{1}{x + 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

         2. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + \log{\left (x + 1 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |     /x + 1\              
 |  log|-----| dx = 2*log(2)
 |     \  x  /              
 |                          
/                           
0                           

$$2\,\log 2$$

Численный ответ

1.38629436111989

Ответ (Неопределённый)

  /                                             
 |                                              
 |    /x + 1\               /x + 1\             
 | log|-----| dx = C + x*log|-----| + log(1 + x)
 |    \  x  /               \  x  /             
 |                                              
/                                               

$$x\,\log \left({{x+1}\over{x}}\right)+\log \left(x+1\right)$$