Интеграл log(x)*sin(x) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |  log(x)*sin(x) dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} \log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $- \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} \right )} + \operatorname{Ci}{\left (x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\log{\left (x \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} \right )} - \operatorname{Ci}{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} \right )} + \operatorname{Ci}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \log{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} \right )} + \operatorname{Ci}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                       
  /                                       
 |                                        
 |  log(x)*sin(x) dx = -EulerGamma + Ci(1)
 |                                        
/                                         
0                                         

$$\int_{0}^{1}{\log x\,\sin x\;dx}$$

Численный ответ

-0.239811742000565

Ответ (Неопределённый)

  /                          / 2\                                 
 |                        log\x /                                 
 | log(x)*sin(x) dx = C + ------- - log(x) - cos(x)*log(x) + Ci(x)
 |                           2                                    
/                                                                 

$$-\cos x\,\log x-{{\Gamma\left(0 , i\,x\right)+\Gamma\left(0 , -i\,x \right)}\over{2}}$$