Интеграл log(x)*x^2 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |          2   
 |  log(x)*x  dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x^{2} \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x^{2}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{2}}{3}\, dx = \frac{1}{3} \int x^{2}\, dx$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x^{3}}{9}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{3}}{9} \left(3 \log{\left (x \right )} - 1\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3}}{9} \left(3 \log{\left (x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{3}}{9} \left(3 \log{\left (x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |          2          
 |  log(x)*x  dx = -1/9
 |                     
/                      
0                      

$$-{{1}\over{9}}$$

Численный ответ

-0.111111111111111

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                     3    3       
 |         2          x    x *log(x)
 | log(x)*x  dx = C - -- + ---------
 |                    9        3    
/                                   

$${{x^3\,\log x}\over{3}}-{{x^3}\over{9}}$$