Интеграл log(x)^(4) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     4      
 |  log (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \log{\left(x \right)}^{4}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

   Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

   $\int u^{4} e^{u}\, du$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = u^{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 4 u^{3}$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = 4 u^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 12 u^{2}$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = 12 u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 24 u$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   4. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(u \right)} = 24 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 24$.

      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   5. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 24 e^{u}\, du = 24 \int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Таким образом, результат будет: $24 e^{u}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $x \log{\left(x \right)}^{4} - 4 x \log{\left(x \right)}^{3} + 12 x \log{\left(x \right)}^{2} - 24 x \log{\left(x \right)} + 24 x$

2. Теперь упростить:

   $x \left(\log{\left(x \right)}^{4} - 4 \log{\left(x \right)}^{3} + 12 \log{\left(x \right)}^{2} - 24 \log{\left(x \right)} + 24\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\log{\left(x \right)}^{4} - 4 \log{\left(x \right)}^{3} + 12 \log{\left(x \right)}^{2} - 24 \log{\left(x \right)} + 24\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \left(\log{\left(x \right)}^{4} - 4 \log{\left(x \right)}^{3} + 12 \log{\left(x \right)}^{2} - 24 \log{\left(x \right)} + 24\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

24

$$24$$

=

=

24

$$24$$

Численный ответ

23.9999999999997

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                            
 |                                                                             
 |    4                         4                           3              2   
 | log (x) dx = C + 24*x + x*log (x) - 24*x*log(x) - 4*x*log (x) + 12*x*log (x)
 |                                                                             
/                                                                              

$$\int \log{\left(x \right)}^{4}\, dx = C + x \log{\left(x \right)}^{4} - 4 x \log{\left(x \right)}^{3} + 12 x \log{\left(x \right)}^{2} - 24 x \log{\left(x \right)} + 24 x$$